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ArCtAn2x≠%1,x≠?

arctan2x≠-1∴2x≠tan(-1)≠-tan1 ∴x≠(-tan1)/2

[arctan(2x/(1-x^2))]' =2/(1+x^2)=2∑(0,+∞) (-x^2)^n |x|

arctan(2x/2-x^2)求导得: 1/[1+(4x^2/(2-x^2)^2]=(2-x^2)^2/[(2-x^2)^2+4x^2]=(4-4x^2+x^4)/(4+x^4) =4/(4+x^4)-4x^2/(4+x^4)+x^4/(4+x^4) =1/(1+x^4/4)-x^2/(1+x^4/4)+(1/4)*x^4/(1+x^4/4) =Σ(-1)^nx^(4n)/4^n-x^2Σ(-1)^nx^(4n)/4^n+(1/4)*x^4...

因为x²+1>=2x, 当x=1时取等号 且x²+1>=-2x,当x=-1时取等号 所以2x/(1+x)²的取值范围是[-1, 1] 故y的值域为[-π/4, π/4]

原题是:求证 2arctanx-arctan(2x/(1-x^2))=0(x的绝对值小于1) 证明:已知 |x|

2xsinx/√1+x^2*arctan1/x =2x/√1+x^2*arctan1/x*sinx 因为 lim(x->+∞)2x/√1+x^2*arctan1/x =lim(x->+∞)2/√(1+1/x^2)*arctan1/x =2/1*0 =0 而 sinx是有界函数,所以 由无穷小和有界函数的积是无穷小,得 原式的极限=0

使用分部积分法, ∫arctan (2x)dx =x *arctan (2x) -∫x *d arctan(2x) =x *arctan (2x) -∫x *2/(1+4x²) dx =x *arctan (2x) -∫1/(1+4x²) dx² =x *arctan (2x) -1/4ln(1+4x²) +C,C为常数

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