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∫(1/sinx)³Dx是多少?

∫1/cosxdx =∫ cosx/cos²xdx =∫ 1/(1-sin²x) d(sinx) =(1/2)∫ [1/(1+sinx)+1/(1-sinx)] d(sinx) =(1/2) [ln(1+sinx)-ln(1-sinx)] + C =ln √[(1+sinx)/(1-sinx)] + C =ln √(1+sinx)²/√(1-sin²x) + C =ln |(1+sinx)/cosx| + C ...

=∫1/(4+2cos²(x/2-π/4)-1)dx =∫sec²u/(3sec²u+2)d(2u+π/2) =∫2/(3tan²u+5)dtanu =2/5*√(5/3)*arctan(√(3/5)tanu)+C =2√15/15*arctan(√15/5*tan(x/2-π/4))+C

令u = tan(x / 2),dx = 2du / (1+u²) sinx = 2u / (1+u²),cosx = (1 - u²) / (1 + u²) ∫ dx / (sinx + cosx) = ∫ 2 / 【(1 + u²) * [2u / (1+u²) + (1 - u²) / (1 + u²)]】 du = 2∫ du / (-u² + 2...

(cosx)^4+(sinx)^4 =(cos² x+sin² x)-2cos² xsin² x =1-1/2sin² 2x =cos² 2x+sin² 2x-1/2sin² 2x =cos² 2x+1/2sin² 2x ∫1/((cosx)^4+(sinx)^4) =∫1/(cos² 2x+1/2sin² 2x)dx =∫...

An ounce of prevention

本题需先证明一个结论,这个在同济大学高等数学教材里定积的换元法部分有这个例子。里面的第二个结论是我们要用的。 有了这个结论本题就十分简单了,下面是过程。

∫(sinx-xcosx+√(1-x²)dx∫sinxdx=-cosx分部积分∫-xcosx=xdsinx=-xsinx-cosx变量置换求∫√(1-x²)dx设x=sinu∫√(1-x²)dx=∫√(1-sin²u)dsinu=∫cosudsinu=∫cosudsinu=∫cos²udu=∫(1-sin²u)du=u-1/2(u-sinu*cosu)=u/2+sinu*...

令x=sinz,dx=cosz dz,cosz=√(1-x²)∫ x²/√(1-x²) dx = ∫ sin²z*cosz/√(1-sin²z) dz= ∫ sin²z*cosz/cosz dz= ∫ sin²z dz= (1/2)∫&n...

y=sinx x=arcsiny A1=积分(0,a) arcsinydy =[yarcsiny + √(1-y²) +C] (0,a) =a*arcsina+√(1-a²)-1 A2=π/2*(1-a)-积分(a,1) arcsinydy =π/2*(1-a)-[yarcsiny + √(1-y²) +C] (a,1) =π/2*(1-a)-[ π/2+0-a*arcsina-√(1-a²)] A1+...

0 cosx积分是-sinx,把x=0和x=π代入得到0 其实从图像也可以看出它x轴上面的面积和下面的面积一样多

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